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根据八旗军记载，有正黄旗军官，台弼善，当场阵亡。因为正黄旗是皇太极亲兵部队，左安门之战是明确记载皇太极参与，所以这名军官的阵亡战斗是指左安门之战。

双方短暂接触后，鉴于袁崇焕驻军固守，而且营垒太坚固了，不容易打。同时皇太极希望避免伤亡，保存实力，所以放弃了强攻。

袁崇焕千里勤王，于北京城下十一月二十日二十七日，打赢广渠门之战，左安门之战，两战皆捷。

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马钰与同门谭处端、刘处玄、丘处机、王处一、郝大通、孙不二七人（即「七真」）是王重阳的主要门人，其中马、谭、刘、丘是最亲近的嫡传弟子。王重阳将马比作弟，谭比作姪，刘、丘比作儿子，临终时说马钰「已得道」，指定为继承人。

马钰在全真教内地位尊崇，受刘处玄、丘处机等一众师弟尊为师叔。他升化于迎仙宫后，仙蜕一直被秘藏，以防陕西等地信徒窃取，之后几次迁移，被藏在迎仙宫，不为人所知。1306年，大都长春宫主席常志清得知其事，翌年重葬仙蜕于迎仙宫，并建殿造像以志。

由于其师弟丘处机热衷和江南七怪的十八年之约比试赌局，马钰苦劝一头热的丘处机不成，便亲自远赴大漠教导郭靖两年上乘玄门内功心法，希望丘处机失败而回头潜心修道。后来与江南七怪合力击退「铁尸」梅超风，最后丘处机因杨康人品过劣而自认输给七怪。《神雕侠侣》故事中段病逝。

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另一个例子是：令为的一个特征向量，也即。则是不变的。

进一步扩展这个例子，我们可以证明每个在一个至少两维的复有限维向量空间的每个线性算子有一个非平凡的不变子空间：的特征值是的特征多项式的零点，而该多项式根据代数基本定理总是有零点的；然后我们可以取对应于该特征值的一个特征向量张成的空间。这个证明在实数域上不成立，因为不是所有实多项式都有一个实根。

在有限维向量空间上每个线性变换在选取了一个的基以后都可以用一个矩阵来表达。假设现在是一个不变子空间。取的一个基，并扩充成为的一个基。则对应于基的矩阵将有如下形式：

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