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在微观经济学中，消费者的间接效用函数（Indirect utility function）定义为满足预算约束时的最大效用，记为。
如果效用函数u是连续的严格递增的函数，那么间接效用函数：
如果价格是常数，则间接效用函数是支出函数的反函数，也即对任意价格向量和效用水平都有：106。
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可能完成于里欧哈且有亲眼见证记载的「阿贝登希斯史书」，写到奥多尼奥在血腥的围攻后进入阿贝达城，补充说穆萨在他的军队全军覆没前正在蒙特拉图塞山顶上的营帐内散布谎言。穆萨本人则是中了一箭，并且差点就要被抓到，史书说是他的战马保住了他的性命。
蒙特拉图塞的大败通常标记发生于859年或860年。 唯一直接提到蒙特拉图塞战役发生于859年的人是伊本·艾希尔（Ibn al-Athir），他写下在伊斯兰历245年（开始于859年4月7日），塔拉哥纳的穆斯林长官（也就是穆萨当时的职位）入侵潘普洛纳王国并且占领了一座基督徒的城堡，囚禁了城内的居民。隔日他在一场战役中被击败，而许多的穆斯林壮烈牺牲。
「阿方索三世史书」记载，在851年的阿贝达战役之后，因为战争的手段，以及为了背叛，穆萨俘虏了两位法兰克的领导人桑乔与艾梅侬， 他将他们关进地牢。桑乔与艾梅侬被抓到的日期没有记录。在蒙特拉图塞，奥多尼奥的士兵在穆萨的营帐中发现来自秃头查理赠送的「礼物」，可能就是为了桑乔与艾梅侬而付的赎金，由此可知他们的被捕获不晚于859、860年。
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