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下表列出曾经申办任一届夏季或冬季奥运会的城市。自奥运于1896年「重生」以来，已有50座城市（含重复者）主办过奥运，其中有两座位于东欧、五座位于东亚、一座位于南美、两座位于大洋洲，而余下的城市则散布于西欧与北美。然而截至目前为止，仍然没有任何一座非洲、中美洲、中亚、中东或南亚城市主办过奥运。
通常而言，主办城市的决定是由国际奥委会总会在该届奥运预定举办日的前七年做出的。例如：里约热内卢是于2009年10月2日获得2016年夏季奥林匹克运动会的主办资格的；而2018年冬季奥林匹克运动会的主办资格则于2011年7月6日由平昌郡获得；东京于2013年9月7日获得2020年夏季奥林匹克运动会的主办资格；北京则于2015年7月31日获得2022年冬季奥林匹克运动会的主办资格；巴黎在2017年8月1日获得2024年夏季奥林匹克运动会的主办资格，同日，洛杉矶获得2028年夏季奥林匹克运动会的主办资格。然而在奥运会申办流程于2019年更改后，主办城市第一次在对应奥运预定举办日的11年前选出，例如：布里斯本是于2021年7月21日获得2032年夏季奥林匹克运动会的主办资格。
2001年6月，国际奥林匹克委员会（国际奥委会，IOC）与国际帕拉林匹克委员会（国际帕委会，IPC）共通签署了一份协议，确认了帕运主办城市的申办程序将自动包含在奥运主办城市的申办程序中。这项协议于2008年夏季奥林匹克运动会时生效，北京因此于奥运结束后又主办了同年度的帕运；2010年在温哥华举行的冬季帕拉林匹克运动会亦是如此。
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共为分四个乐章，第3及第4乐章为不间断连奏，并以小提琴的华彩乐段独奏作为连接。全曲演奏时间为35分钟。
* 第1乐章：夜曲（Nocturne）：中板（Moderato），是对艾尔加的大提琴协奏曲作致敬。
* 第2乐章：谐谑曲（Scherzo），快板（Allegro）
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该命题的逆命题同样成立：若在边上的位置满足关系式，则以这三点为垂足做出的三条垂线会交于一点。因此，该关系式为垂线是否交于一点提供了一个充分必要条件。
若三角形的角为直角，则可以将三条垂线的交点置于上。此时由于、 且，可得、、、、与，代入卡诺定理的关系式后，即可推得毕氏定理。
若三条垂线皆为中垂线，则、且，无论三边长度为何，上述关系式必会成立，故可推得三角形的三条中垂线必交于一点。
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