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其中是的次方根的主值（primitive nth root of unity）,大小为。需要注意的是在总和前面的正规化因数，还有中指数的正负号是依据惯例，并且会因为处理的方法有所不同。以下所有的讨论考虑到大多数的细节变动且不论是否为一般惯例均适用之。唯一重要的是，正变换和逆变换有相反的指数正负号标志，而其正规化因数乘积为。然而，这里为了使得最后的离散傅立叶变换矩阵结果正规化所选择的因数 ，在许多情况下都是通用的。
快速傅立叶变换演算法利用矩阵的对称性与W的周期性，以减少乘法所需要的时间（把计算复杂度从降为）。类似的方法也可适用于其他矩阵乘法如阿达马矩阵和沃尔什矩阵。
3点的离散傅立叶变换具有特殊的意义。例如：Charles LeGeyt Fortescue于1918年所发表的对称分量变换（Symmetrical Components Transform, SCT），它定义了三相平衡（three phase balance），即3点离散傅立叶变换可分解成一个直流成份，以及两个交流成份（一个是顺时针相位，另一个为逆时针相位）。
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脊髓半切综合征（Brown-Séquard syndrome，布朗-塞加尔综合征）是一种在脊髓受到侧向半切时发生的综合征，可导致感觉官能丧失和肌肉瘫痪。该病首先与1850-1851年间由神经生理学家夏尔-爱德华·布朗-塞加尔发现，常常由于脊髓受到挫伤或其他损伤时发生，少数情况下也由椎管肿瘤导致。
脊髓由下行的运动神经和上行的感觉神经构成，对脊髓侧面的部分损害并不会导致全面瘫痪：在脊髓损伤的半边身体（同侧）中，由神经控制的肌肉会瘫痪，感觉能力障碍；而在异侧则会发生温度及疼痛感知紊乱。
用于粗感觉（原始感觉、粗触觉、温度和疼痛的感觉）的传导束从脊神经根穿入脊髓，与对侧同一部分交叉。它们作为脊髓丘脑束（包括前束、侧束）从此处出发直达丘脑，在那儿转向大脑皮层的感觉区域。
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水污染预警溯源仪（Pollution early-warning and identification of pollution discharge source instrument）是由清华大学环境学院吴静团队基于三维荧光光谱理论自主研制而成，可以识别污染排放源的水质污染。通过检测水样的水质荧光信号与数据库中污染源的荧光信号比对。其具有早期污染预警、污染快速溯源以及污染自动留证功能。目前有在线式、台式和移动式三个系列仪器，分别在不同应用场景使用，常与其他常规水质监测仪器配合使用。2017年，仪器获日内瓦国际发明博览会特别嘉许金奖。
荧光技术是近年来快速发展的新型化学分析手段，依靠测量含共轭Π键等化学结构的分子在可见光或紫外光激发发射特定波长的光来完成有机化合物的定性定量分析。有机物的发光位置固定的特性决定了荧光光谱与样品一一对应的特点。根据水体和污水中的污染物种类和浓度不同，可展示出有机物水样组成的差异，因此荧光光谱被称为“水质荧光指纹”。水样的三维荧光光谱是描述荧光强度同时随激发波长和发射波长变化的关系图谱，可以展现水样的有机物组成，图像形象直观，所含信息丰富。
水污染预警溯源仪广泛应用于水源地、水体、工业园区、流域、城市/区域等水环境监管场景，也是环保、水利、住建部门提升水环境监察执法效率的常用仪器。
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